윷놀이를 해 보면 개와 걸은 자주 나오는데 모는 좀처럼 나오지 않습니다. 기분 탓이 아니라 윷가락 네 개가 만드는 경우의 수 때문입니다. 확률로 계산해 보면 이유가 분명해집니다.
이름은 배의 개수로 정해진다
윷가락은 한쪽이 평평한 배, 다른 쪽이 둥근 등입니다. 네 개를 던져 배가 몇 개 위로 오느냐로 결과가 정해집니다.
| 결과 | 배가 보이는 개수 | 가는 칸 |
|---|---|---|
| 도 | 1개 | 1칸 |
| 개 | 2개 | 2칸 |
| 걸 | 3개 | 3칸 |
| 윷 | 4개 | 4칸, 한 번 더 |
| 모 | 0개 (모두 등) | 5칸, 한 번 더 |
확률 계산
윷놀이는 윷가락 하나가 배를 보일 확률을 0.6, 등을 보일 확률을 0.4로 둡니다. 평평한 면이 바닥에 닿기 어려워 배가 조금 더 자주 위로 온다는 점을 반영한 값입니다. 네 개가 각각 따로 떨어진다고 보면 확률은 이렇게 됩니다.
| 결과 | 계산 | 확률 |
|---|---|---|
| 도 | 4 × 0.6 × 0.4³ | 약 15.4% |
| 개 | 6 × 0.6² × 0.4² | 약 34.6% |
| 걸 | 4 × 0.6³ × 0.4 | 약 34.6% |
| 윷 | 0.6⁴ | 약 13.0% |
| 모 | 0.4⁴ | 약 2.6% |
앞의 숫자 4, 6, 4는 네 개 중 배가 몇 개일지 고르는 방법의 수입니다. 두 개가 배인 경우는 어느 두 개냐에 따라 여섯 가지가 있어서 개가 자주 나옵니다. 모는 네 개가 모두 등이어야 하는 단 한 가지 경우뿐이라 가장 드뭅니다.
한 번 던지면 평균 몇 칸
각 결과의 칸 수에 확률을 곱해 더하면 한 번 던질 때 평균 약 2.5칸을 갑니다. 여기에 윷이나 모가 나오면 한 번 더 던지므로, 실제로는 한 차례에 이보다 조금 더 갑니다.
이 게임은 말 하나로 20칸짜리 길을 먼저 지나는 쪽이 이기는 방식이라, 평균으로 따지면 20을 2.5로 나눈 여덟 번 안팎을 던지면 도착합니다. 윷이나 모로 한 번 더 던지는 것도 한 번으로 셉니다. 도착까지 던진 횟수가 기록으로 남고, 적을수록 좋은 기록입니다.
실제 윷과 다른 점
- 확률 실제 윷가락은 나무의 모양, 두께, 던지는 높이와 바닥에 따라 배가 나올 확률이 달라집니다. 0.6은 게임을 위해 정한 값입니다.
- 빽도 윷가락 하나에 표시를 해 두고, 그 가락만 배가 나왔을 때 뒤로 한 칸 가는 빽도 규칙은 이 게임에 없습니다.
- 말판과 지름길 전통 말판은 29개 자리에 모서리마다 지름길이 있고 말 네 개를 씁니다. 여기서는 한 판을 짧게 즐기도록 말 하나와 20칸 직선 길로 줄였습니다.
운으로 겨루는 다른 게임
확률로 따져 보는 재미가 좋았다면, 먼저 5승을 가리는 주사위 대결과 앞뒤를 연속으로 맞히는 동전 앞뒤 맞히기도 같은 계산으로 결과를 이해할 수 있습니다. 동전은 앞뒤가 반반이라 다섯 번 연속으로 맞힐 확률이 1/32, 약 3%입니다.